Cola para adquirir lotería de Navidad en el local de Doña Manolita, en Madrid.
Barcex /Wikimedia Commons., CC BY
Francisco Pedroche Sánchez, Universitat Politècnica de València
¿Cuál es la probabilidad de ganar algo (incluido el reintegro) al jugar un décimo de la lotería de Navidad? Se suele decir que esta probabilidad es de un 15%: los chatbots de consulta explican que esta cifra viene de hacer la división entre el número de premios, 15 304, y los cien mil números posibles (del 00000 al 99999).
Lo primero que me viene a la mente en estas ocasiones son películas del viejo oeste donde aparecen escenas de vaqueros, nativos americanos y caballos. A veces, hay caballos sin jinete y, a veces, hay caballos con dos jinetes. Pues con los números de la lotería pasa lo mismo: si asumimos que los caballos son los números y que los premios son los jinetes, visualizaremos que un mismo número puede acarrear más de un premio.
Por ejemplo, en el Sorteo Extraordinario de Navidad de 2024, el número 71340 fue premiado con la pedrea (salió en uno de los alambres de la tabla 8) y también fue premiado por coincidir con los dos números de la terminación del tercer premio –el 11840–. Además, se llevó el reintegro por coincidir con la terminación del gordo –el 72480–. Si estuviéramos hablando del número 72 440, también habría ganado el premio por coincidir con las centenas del gordo (números del 72 400 al 72 499, excluyendo el primer premio).
Cuchara sopera conteniendo 100 granos de arroz.
Paco Pedroche.
Caballos y jinetes
Como hay números con más de un premio, la cantidad de números susceptibles de ser agraciados con premio (o sea caballos que llevarán jinetes) es menor que el número de premios (número de jinetes). Por tanto, para calcular la probabilidad de que nos toque algo en el sorteo de Navidad no podemos simplemente dividir el número de premios entre los 100 000 números.
Un cálculo más aproximado a la probabilidad de ganar algo al jugar un décimo consiste en eliminar de los posibles premios aquellos números que seguro que obtienen, al menos, dos premios. Es decir, hay caballos con dos jinetes que son fácilmente identificables incluso antes de comenzar el sorteo. Estos números son los que aparecen en el programa de premios bajo el epígrafe: “999 premios de 1 000 euros cada uno para los billetes cuyas dos últimas cifras sean iguales y estén igualmente dispuestas que las del que obtenga el premio primero”.
La probabilidad es menor del 15%
En el sorteo de Navidad del año 2024, los 999 números agraciados con este premio fueron los números del tipo XXX80: el 00080, el 00180, hasta el 99 980. De este conjunto se excluye el propio gordo, el 72 480. Estos 999 números ganaron, además, el reintegro por coincidir con la última cifra (el 0, en este ejemplo). Todos esos caballos (números) llevan al menos dos jinetes (premios).
Por tanto, podemos afirmar que los números premiados con alguna cosa (incluyendo el reintegro) serán como mucho 15 304 menos 999, es decir 14 305. De esta manera, una medida más aproximada de la probabilidad de ganar algo en el sorteo del gordo es, como mucho, un 14,3 % (como ya afirmaba el catedrático José Manuel López, redondeando al 14 %).
Un grano de arroz en treinta platos de paella
Las IA de consulta aciertan al predecir la probabilidad de ganar el gordo, pues es un único número entre 100 000 posibles, con lo cual la probabilidad es de 0,00001 o, dado en porcentaje, de un 0,001 %. Además, una IA puede proporcionar una buena analogía para visualizar este número. Entre las que se suelen utilizar en la literatura, tengo preferencia por la propuesta hace años por el matemático y divulgador José Luis Muñoz, quien usaba granos de arroz. Claro, como valenciano que soy, voy a convertir esa analogía en platos de paella.
Para hacerse una idea de lo pequeños que son los granos de arroz típicos para hacer paella, cuente 100 granos y colóquelos en una cuchara sopera. Verá que queda mucho espacio disponible. Hagamos una estimación de lo que pesan cien mil granos de arroz. En los artículos científicos sobre la agronomía del arroz, se suele usar como medida de peso una unidad llamada PMG (peso de mil granos ).
Para nuestro propósito, vamos a considerar un tipo de arroz ligero con un PMG de 25 g, es decir mil granos de arroz pesan 25 gramos. Por tanto, cien mil granos pesan 2,5 kg. Según fuentes próximas (mi pareja), la ración típica de una paella valenciana es de unos 80 g por persona. Es decir, con 100 000 granos de arroz (2,5 kg) tenemos para unas 31,25 raciones de paella, que podemos aproximar como 30 a efectos de tener un número redondo. Así, podemos decir que ganar el gordo de Navidad es como adivinar dónde se encuentra un grano particular de arroz escondido entre 30 platos de paella.
Francisco Pedroche Sánchez, Profesor Titular de Matemática Aplicada (Álgebra, Cálculo, Estadística, Ciencia de Datos). Institut de Matemàtica Multidisciplinària, Universitat Politècnica de València
Este artículo fue publicado originalmente en The Conversation. Lea el original.
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